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数学・物理の公式と問題解説を淡々とアップします。

物理公式集32: 断熱変化

高校物理

断熱変化

気体が外部との熱のやり取りなしに状態が変化する現象。

$Q = \Delta U + W$ で、 $Q=0$ より

$\Delta U = -W$

自由膨張

気体が真空中へ膨張したとき（自由膨張）、気体は仕事をしないから、内部エネルギーと温度の変化はない。

断熱変化と気体の温度

断熱膨張では気体の温度は下がり、

断熱圧縮では気体の温度は上がる。

物理公式集31: モル比熱

高校物理

定積モル比熱

$C_v = 12.5$ [J/mol K] $=\frac{3}{2} R$

$Q = n C_v \Delta T$

定圧モル比熱

$C_p = 20.8$ [J/mol K] $=C_v + R = \frac{5}{2} R$

$Q = n C_p \Delta T$

熱力学の第一法則

$Q = \Delta U + W$

$\Delta U = n C_v \Delta T$

物理公式集 30: 熱力学第一法則と気体の内部エネルギー

高校物理

気体に外部から熱量 $Q$ を加えたとき：

体積一定の場合

気体は外部に仕事をしないから $W=0$ となり、加えた熱量がそのまま内部エネルギーの増加となる。つまり $\Delta U = Q$

体積が増加する場合

体積が増加すると、気体は外部に $W＞0$ の仕事をするから、増えた熱量から $W$ を引いたものが内部エネルギーの増加量となる。

$\Delta U = Q - W$

$Q$ の符号の意味

$Q＞0$ : 気体に外部から熱が加えられた

$Q＜0$ : 気体から外部に熱が放出された

$\Delta U$ の符号の意味

$\Delta U＞0$ : 気体の内部エネルギーが増加

$\Delta U＜0$ : 気体の内部エネルギーが減少

$W$ の符号の意味

$W＞0$ : 気体が外部に仕事をした

$W=0$ : 気体が外部に仕事をしない、仕事をされない

$W＜0$ : 気体が外部に仕事をされた

気体のなす仕事と気体の状態方程式

仕事 $W$ は、気体の状態方程式 $PV=nRT$ より

$P(V+\Delta V)=nR(T+\Delta T)$

なので、

$W=P \Delta V = nR\Delta T$

気体のする仕事と内部エネルギーの変化

$\displaystyle \Delta U= \frac{3}{2} nR \Delta T$

物理公式集 29 : 気体の内部エネルギー

高校物理

気体の内部エネルギー

$\displaystyle U = \frac{3}{2}RT$ [J]

$\displaystyle \Delta U = \frac{3}{2}R \Delta T$ [J]

内部エネルギーの保存

外部と熱のやり取りがないとき、気体を混合しても混合の前後で、気体の全内部エネルギーは保存される。

熱力学第一法則

気体に $Q$ [J]の熱量を加えたとき、気体の内部エネルギーが $\Delta U$ [J]だけ増加し、外部に $W$ [J]の仕事をしたとすれば、エネルギー保存の法則から

$Q=\Delta U + W$

気体のする仕事

$W = P \times \Delta V$ [J]

物理公式集28: 気体の状態方程式

高校物理

気体の圧力

$\displaystyle P=\frac{2}{3} \times \frac{N}{V} \times \frac{1}{2} m \bar{v^2}$

速さ $v$ の平均値の自乗を $\bar{v^2}$ とする

気体の圧力と密度、分子速度

$P=\frac{1}{3} \rho \bar{v^2}$

証明：

1辺 $l$ の立方体 Aを考える。

$v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$

$v_x = v_y = v_z$ なので、 $\bar{v_x^2} = 1/3 \bar{v^2}$

N個の分子によりAが受ける力は

$\displaystyle F = \frac{Nm \bar{v_x^2}}{l} = \frac{Nm\bar{v^2}}{3l}$

Aが受ける圧力Pは

$\displaystyle P = \frac{F}{l^2} = \frac{Nm\bar{v^2}}{3l^2} = \frac{Nm\bar{v^2}}{3V}$

ゆえに

$\displaystyle P =\frac{2}{3} \times \frac{N}{V} \times \frac{1}{2} m \bar{v^2}$

1分子の平均運動エネルギーと温度

$\displaystyle \frac{1}{2} m \bar{v^2}=\frac{3}{2} \frac{R}{N_0}T = \frac{3}{2} kT$

定数 $k = R/N_0$ をボルツマン定数という。

$k = 1.38 \times 10^{-23}$ [J/K]

温度上昇と分子の平均運動エネルギーの増加量

$\displaystyle \Delta E = \frac{3}{2} k \Delta T$ [J]

気体分子の自乗平均速度

$\displaystyle \sqrt{\bar{v^2}} = \sqrt{\frac{3RT}{mN_0}} = \sqrt{\frac{3RT}{M \times 10^{-3}}}$ [m/s]

物理公式集27: 気体分子の間隔・速さ

高校物理

気体分子の間隔・速さ

気体分子の間隔は、液体や固体と比較しても非常に大きく、標準状態では $3.3 \times 10^{-9}$ [m]位で速さも大きい。（ex. 0℃における $O_2$ の速さは461 m/s）

1分子の1回の衝突により壁が受ける力積

気体分子と壁の衝突は完全弾性衝突とみなせる

$\displaystyle ft = 2mv$

1分子が壁に与える力積の総和

1辺が $l$ [m]の立方体容器の壁に垂直に、気体分子が1秒間に壁に与える力積の総和は

$\displaystyle f\times 1 = 2 mv \times \frac{v}{2l}=\frac{mv^2}{l}$

※ $2l$ 進むごとに1回衝突

ボイルの法則と気体の分子運動

気体分子の速さは温度のみによる。温度一定のもとで気体の体積を半分にしたとき、圧力が２倍になるのは、気体の入っている容器の壁に衝突する回数が２倍になるためである。

物理公式集26: シャルルの法則

高校物理

シャルルの法則

一定量の気体の体積は、圧力一定のもとでは、温度が１℃変化すると、0℃の時の体積 $V_0$ の1/273だけ変化する。温度 $t$ [℃]のときの体積 $V$ は

$\displaystyle V = V_0 (1+\frac{t}{273})$

これは、「一定量の気体の体積 $V$ は絶対温度 $T$ に比例する」といえる。

$\displaystyle \frac{V}{T} = 一定$

気体の密度と体積と重さ

$\displaystyle \rho V = m (一定)$

$\displaystyle \rho T = 一定$

物体の浮力

密度 $\rho$ の気体または液体中の体積 $V$ の物体は、大きさ $\rho V g$ の上向きの力を受ける。

ボイル・シャルルの法則

$\displaystyle \frac{pV}{T} = 一定$

水中の気泡

水中の気泡は気体の量が一定なのでボイル・シャルルの法則に従って変化する。この時、気泡の圧力はその深さでの水圧と大気圧との和と釣り合っている。水圧は10m深くなるごとに1atmずつ増すから、

$\displaystyle P = 1+ \frac{h}{10} \times 1 atm$